Leysa {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=1$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-5y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Dragðu \frac{2}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{19}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{2}{19}$$

Skiptu \frac{2}{19} út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum \frac{2}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við -\frac{10}{57} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Til að gera 3x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Dragðu 6x-9y=0 frá 6x+10y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y+9y=2$$

Leggðu 10y saman við 9y.

$$19y=2$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=\frac{2}{19}$$

Skiptu \frac{2}{19} út fyrir y í 2x-3y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Leggðu \frac{6}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{6}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{3}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$