Leysa {l}{3x+5y=-1}{3x+y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=-1$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y-1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y-1.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-5y-1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=3.

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-5y-1}{3}.

$$-5y-1+y=3$$

Leggðu -5y saman við y.

$$-4y-1=3$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{5-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{5}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

Dragðu 3x+y=3 frá 3x+5y=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-y=-1-3$$

Leggðu 5y saman við -y.

$$4y=-1-3$$

Leggðu -1 saman við -3.

$$4y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 3x+y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-1=3$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{4}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$