Leysa {l}{3x+2y=5}{ax+(a-1)y=2a-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { a x + ( a - 1 ) y = 2 a - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=1\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{5-2y}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=3\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=5$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, ax+\left(a-1\right)y=2a-1.

$$a\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Margfaldaðu a sinnum \frac{-2y+5}{3}.

$$\left(-\frac{2a}{3}\right)y+\frac{5a}{3}+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Leggðu -\frac{2ay}{3} saman við \left(a-1\right)y.

$$\left(\frac{a}{3}-1\right)y+\frac{5a}{3}=2a-1$$

Dragðu \frac{5a}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{a}{3}-1\right)y=\frac{a}{3}-1$$

Deildu báðum hliðum með \frac{a}{3}-1.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{3\left(a-1\right)-2a}&-\frac{2}{3\left(a-1\right)-2a}\\-\frac{a}{3\left(a-1\right)-2a}&\frac{3}{3\left(a-1\right)-2a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{a-3}&-\frac{2}{a-3}\\-\frac{a}{a-3}&\frac{3}{a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{a-3}\times 5+\left(-\frac{2}{a-3}\right)\left(2a-1\right)\\\left(-\frac{a}{a-3}\right)\times 5+\frac{3}{a-3}\left(2a-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Til að gera 3x og ax jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með a og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$a\times 3x+a\times 2y=a\times 5,3ax+3\left(a-1\right)y=3\left(2a-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$3ax+2ay=5a,3ax+\left(3a-3\right)y=6a-3$$

Dragðu 3ax+\left(3a-3\right)y=6a-3 frá 3ax+2ay=5a með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3ax+\left(-3a\right)x+2ay+\left(3-3a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 3ax saman við -3ax. Liðirnir 3ax og -3ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2ay+\left(3-3a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 2ay saman við 3y-3ya.

$$\left(3-a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 5a saman við 3-6a.

$$\left(3-a\right)y=3-a$$

Deildu báðum hliðum með -a+3.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í ax+\left(a-1\right)y=2a-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$ax+a-1=2a-1$$

Dragðu a-1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=a$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }y=1\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{5-2y}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=3\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=5$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, ax+\left(a-1\right)y=2a-1.

$$a\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Margfaldaðu a sinnum \frac{-2y+5}{3}.

$$\left(-\frac{2a}{3}\right)y+\frac{5a}{3}+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Leggðu -\frac{2ay}{3} saman við \left(a-1\right)y.

$$\left(\frac{a}{3}-1\right)y+\frac{5a}{3}=2a-1$$

Dragðu \frac{5a}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(\frac{a}{3}-1\right)y=\frac{a}{3}-1$$

Deildu báðum hliðum með \frac{a}{3}-1.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\a&a-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{3\left(a-1\right)-2a}&-\frac{2}{3\left(a-1\right)-2a}\\-\frac{a}{3\left(a-1\right)-2a}&\frac{3}{3\left(a-1\right)-2a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{a-3}&-\frac{2}{a-3}\\-\frac{a}{a-3}&\frac{3}{a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2a-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a-1}{a-3}\times 5+\left(-\frac{2}{a-3}\right)\left(2a-1\right)\\\left(-\frac{a}{a-3}\right)\times 5+\frac{3}{a-3}\left(2a-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=5,ax+\left(a-1\right)y=2a-1$$

Til að gera 3x og ax jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með a og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$a\times 3x+a\times 2y=a\times 5,3ax+3\left(a-1\right)y=3\left(2a-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$3ax+2ay=5a,3ax+\left(3a-3\right)y=6a-3$$

Dragðu 3ax+\left(3a-3\right)y=6a-3 frá 3ax+2ay=5a með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3ax+\left(-3a\right)x+2ay+\left(3-3a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 3ax saman við -3ax. Liðirnir 3ax og -3ax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2ay+\left(3-3a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 2ay saman við 3y-3ya.

$$\left(3-a\right)y=5a+3-6a$$

Leggðu 5a saman við 3-6a.

$$\left(3-a\right)y=3-a$$

Deildu báðum hliðum með -a+3.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í ax+\left(a-1\right)y=2a-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$ax+a-1=2a-1$$

Dragðu a-1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$ax=a$$

Deildu báðum hliðum með a.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$