Leysa {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=16k$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+16k$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Settu \frac{-2y+16k}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

Leggðu -\frac{10y}{3} saman við -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Dragðu \frac{80k}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{22}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5k$$

Skiptu 5k út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

Leggðu \frac{16k}{3} saman við -\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2k,y=5k$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2k,y=5k$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Til að gera 3x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Einfaldaðu.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Dragðu 15x-12y=-30k frá 15x+10y=80k með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y+12y=80k+30k$$

Leggðu 10y saman við 12y.

$$22y=80k+30k$$

Leggðu 80k saman við 30k.

$$22y=110k$$

Deildu báðum hliðum með 22.

$$y=5k$$

Skiptu 5k út fyrir y í 5x-4y=-10k. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

Margfaldaðu -4 sinnum 5k.

$$5x-20k=-10k$$

Leggðu 20k saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=10k$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=2k$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2k,y=5k$$