Leysa {l}{3x+2y=10}{7x-8y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 10 } \\ { 7 x - 8 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+10$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

Settu \frac{-2y+10}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-8y=-2.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}\right)-8y=-2$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-2y+10}{3}.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{70}{3}-8y=-2$$

Leggðu -\frac{14y}{3} saman við -8y.

$$-\frac{38}{3}y+\frac{70}{3}=-2$$

Dragðu \frac{70}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{38}{3}y=-\frac{76}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{38}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{10}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-2\times 7}&-\frac{2}{3\left(-8\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{3\left(-8\right)-2\times 7}&\frac{3}{3\left(-8\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{7}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-2\right)\\\frac{7}{38}\times 10-\frac{3}{38}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=10,7x-8y=-2$$

Til að gera 3x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$7\times 3x+7\times 2y=7\times 10,3\times 7x+3\left(-8\right)y=3\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$21x+14y=70,21x-24y=-6$$

Dragðu 21x-24y=-6 frá 21x+14y=70 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$21x-21x+14y+24y=70+6$$

Leggðu 21x saman við -21x. Liðirnir 21x og -21x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y+24y=70+6$$

Leggðu 14y saman við 24y.

$$38y=70+6$$

Leggðu 70 saman við 6.

$$38y=76$$

Deildu báðum hliðum með 38.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 7x-8y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-8\times 2=-2$$

Margfaldaðu -8 sinnum 2.

$$7x-16=-2$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$