Leysa {l}{3a-2b=-2}{-2a+3b=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a - 2 b = - 2 } \\ { - 2 a + 3 b = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-2$$

$$b=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a-2b=-2,-2a+3b=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a-2b=-2$$

Leggðu 2b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3a=2b-2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(2b-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2+2b.

$$a=\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-2+2b}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, -2a+3b=-2.

$$-2\left(\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}\right)+3b=-2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-2+2b}{3}.

$$-\frac{4}{3}b+\frac{4}{3}+3b=-2$$

Leggðu -\frac{4b}{3} saman við 3b.

$$\frac{5}{3}b+\frac{4}{3}=-2$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{3}b=-\frac{10}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=-2$$

Skiptu -2 út fyrir b í a=\frac{2}{3}b-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{2}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum -2.

$$a=\frac{-4-2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-2,b=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a-2b=-2,-2a+3b=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-2\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\\\frac{2}{5}\left(-2\right)+\frac{3}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-2,b=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a-2b=-2,-2a+3b=-2$$

Til að gera 3a og -2a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\left(-2\right),3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$-6a+4b=4,-6a+9b=-6$$

Dragðu -6a+9b=-6 frá -6a+4b=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-6a+6a+4b-9b=4+6$$

Leggðu -6a saman við 6a. Liðirnir -6a og 6a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4b-9b=4+6$$

Leggðu 4b saman við -9b.

$$-5b=4+6$$

Leggðu 4 saman við 6.

$$-5b=10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$b=-2$$

Skiptu -2 út fyrir b í -2a+3b=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$-2a+3\left(-2\right)=-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2.

$$-2a-6=-2$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2a=4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$a=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-2,b=-2$$