Leysa {l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$3a+14b=4$$

Dragðu 14b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3a=-14b+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -14b+4.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-14b+4}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 13a+19b=13.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

Margfaldaðu 13 sinnum \frac{-14b+4}{3}.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

Leggðu -\frac{182b}{3} saman við 19b.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

Dragðu \frac{52}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{125}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{13}{125}$$

Skiptu \frac{13}{125} út fyrir b í a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{14}{3} sinnum \frac{13}{125} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við -\frac{182}{375} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=\frac{106}{125}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

Til að gera 3a og 13a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 13 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

Einfaldaðu.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

Dragðu 39a+57b=39 frá 39a+182b=52 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

Leggðu 39a saman við -39a. Liðirnir 39a og -39a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$182b-57b=52-39$$

Leggðu 182b saman við -57b.

$$125b=52-39$$

Leggðu 52 saman við -39.

$$125b=13$$

Deildu báðum hliðum með 125.

$$b=\frac{13}{125}$$

Skiptu \frac{13}{125} út fyrir b í 13a+19b=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

Margfaldaðu 19 sinnum \frac{13}{125}.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

Dragðu \frac{247}{125} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$a=\frac{106}{125}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$