Leysa {l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3x-3-2y=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-2y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-2y=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$4y-4-3x=15$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4y-3x=15+4$$

Leggðu saman 15 og 4 til að fá 19.

$$4y-3x=19$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-2y=1$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=2y+1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Settu \frac{2y+1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+4y=19.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{2y+1}{3}.

$$-2y-1+4y=19$$

Leggðu -2y saman við 4y.

$$2y-1=19$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=20$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 10.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við \frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=10$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3x-3-2y=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-2y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-2y=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$4y-4-3x=15$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4y-3x=15+4$$

Leggðu saman 15 og 4 til að fá 19.

$$4y-3x=19$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=10$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x-1.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með y-1.

$$3x-3=2y-2$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$3x-3-2y=-2$$

Bættu 3 við báðar hliðar.

$$3x-2y=-2+3$$

Leggðu saman -2 og 3 til að fá 1.

$$3x-2y=1$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með y-1.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+5.

$$4y-4=3x+15$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$4y-4-3x=15$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4y-3x=15+4$$

Leggðu saman 15 og 4 til að fá 19.

$$4y-3x=19$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

Til að gera 3x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

Einfaldaðu.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

Dragðu -9x+12y=57 frá -9x+6y=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

Leggðu -9x saman við 9x. Liðirnir -9x og 9x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-12y=-3-57$$

Leggðu 6y saman við -12y.

$$-6y=-3-57$$

Leggðu -3 saman við -57.

$$-6y=-60$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í -3x+4y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+4\times 10=19$$

Margfaldaðu 4 sinnum 10.

$$-3x+40=19$$

Dragðu 40 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-21$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=10$$