Leysa {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Sameinaðu 3x og -4x til að fá -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Sameinaðu 3y og 4y til að fá 7y.

$$-x+7y=-18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{2} með x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{6} með x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}x og \frac{1}{6}x til að fá \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}y og -\frac{1}{6}y til að fá \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+7y=-18$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-7y-18$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -7y-18.

$$x=7y+18$$

Settu 7y+18 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum 7y+18.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

Leggðu \frac{14y}{3} saman við \frac{y}{3}.

$$5y+12=2$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=7y+18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

Margfaldaðu 7 sinnum -2.

$$x=-14+18$$

Leggðu 18 saman við -14.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Sameinaðu 3x og -4x til að fá -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Sameinaðu 3y og 4y til að fá 7y.

$$-x+7y=-18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{2} með x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{6} með x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}x og \frac{1}{6}x til að fá \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}y og -\frac{1}{6}y til að fá \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+y.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -4 með x-y.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

Sameinaðu 3x og -4x til að fá -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

Sameinaðu 3y og 4y til að fá 7y.

$$-x+7y=-18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{2} með x+y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda \frac{1}{6} með x-y.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}x og \frac{1}{6}x til að fá \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

Sameinaðu \frac{1}{2}y og -\frac{1}{6}y til að fá \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

Til að gera -x og \frac{2x}{3} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{2}{3} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Einfaldaðu.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

Dragðu -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 frá -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Leggðu -\frac{2x}{3} saman við \frac{2x}{3}. Liðirnir -\frac{2x}{3} og \frac{2x}{3} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

Leggðu \frac{14y}{3} saman við \frac{y}{3}.

$$5y=-12+2$$

Leggðu -12 saman við 2.

$$5y=-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=-2$$