Leysa {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Dragðu 21 frá -6 til að fá út -27.

$$15x-27-14y=2$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$15x-14y=2+27$$

Leggðu saman 2 og 27 til að fá 29.

$$15x-14y=29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Bættu 27x við báðar hliðar.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Sameinaðu 6x og 27x til að fá 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Bættu 23 við báðar hliðar.

$$33x-2y=12+23$$

Leggðu saman 12 og 23 til að fá 35.

$$33x-2y=35$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$15x-14y=29$$

Leggðu 14y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$15x=14y+29$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{15} sinnum 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

Settu \frac{14y+29}{15} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

Margfaldaðu 33 sinnum \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

Leggðu \frac{154y}{5} saman við -2y.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

Dragðu \frac{319}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{144}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

Margfaldaðu \frac{14}{15} sinnum -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

Leggðu \frac{29}{15} saman við -\frac{14}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Dragðu 21 frá -6 til að fá út -27.

$$15x-27-14y=2$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$15x-14y=2+27$$

Leggðu saman 2 og 27 til að fá 29.

$$15x-14y=29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Bættu 27x við báðar hliðar.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Sameinaðu 6x og 27x til að fá 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Bættu 23 við báðar hliðar.

$$33x-2y=12+23$$

Leggðu saman 12 og 23 til að fá 35.

$$33x-2y=35$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 5x-2.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -7 með 2y+3.

$$15x-6-14y-21=2$$

Dragðu 21 frá -6 til að fá út -27.

$$15x-27-14y=2$$

Bættu 27 við báðar hliðar.

$$15x-14y=2+27$$

Leggðu saman 2 og 27 til að fá 29.

$$15x-14y=29$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 3x-y.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 4-9x.

$$6x-2y-23=12-27x$$

Bættu 27x við báðar hliðar.

$$6x-2y-23+27x=12$$

Sameinaðu 6x og 27x til að fá 33x.

$$33x-2y-23=12$$

Bættu 23 við báðar hliðar.

$$33x-2y=12+23$$

Leggðu saman 12 og 23 til að fá 35.

$$33x-2y=35$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

Til að gera 15x og 33x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 33 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 15.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

Einfaldaðu.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

Dragðu 495x-30y=525 frá 495x-462y=957 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

Leggðu 495x saman við -495x. Liðirnir 495x og -495x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-462y+30y=957-525$$

Leggðu -462y saman við 30y.

$$-432y=957-525$$

Leggðu 957 saman við -525.

$$-432y=432$$

Deildu báðum hliðum með -432.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 33x-2y=35. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$33x+2=35$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$33x=33$$

Deildu báðum hliðum með 33.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-1$$