Leysa {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Margfaldaðu -5 sinnum y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Leggðu 3 saman við 15.

$$6x-5y+18=1$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x-5y=-17$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=5y-17$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 5y-17.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

Settu \frac{5y-17}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{5y-17}{6}.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Leggðu \frac{17}{6} saman við 1.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2y+1.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

Leggðu -\frac{25y}{6} saman við -8y.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

Leggðu \frac{115}{6} saman við -4.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

Dragðu \frac{91}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{73}{6}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

Leggðu -\frac{17}{6} saman við \frac{5}{6} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Einfaldaðu fyrstu jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2x+1.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

Margfaldaðu -5 sinnum y-3.

$$6x+3-5y+15=1$$

Leggðu 3 saman við 15.

$$6x-5y+18=1$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x-5y=-17$$

Einfaldaðu aðra jöfnuna til að setja hana í staðlað form.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

Margfaldaðu 5 sinnum -x+1.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2y+1.

$$-5x+5-8y-4=3$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$-5x-8y+1=3$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x-8y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=1$$