Leysa {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=100$$

$$y=400$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$25x+35y=16500$$

Dragðu 35y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x=-35y+16500$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

Settu -\frac{7y}{5}+660 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við y.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

Dragðu 660 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=400$$

Skiptu 400 út fyrir y í x=-\frac{7}{5}y+660. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

Margfaldaðu -\frac{7}{5} sinnum 400.

$$x=-560+660$$

Leggðu 660 saman við -560.

$$x=100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=100,y=400$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=100,y=400$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

Til að gera 25x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

Einfaldaðu.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

Dragðu 25x+25y=12500 frá 25x+35y=16500 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

Leggðu 25x saman við -25x. Liðirnir 25x og -25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$35y-25y=16500-12500$$

Leggðu 35y saman við -25y.

$$10y=16500-12500$$

Leggðu 16500 saman við -12500.

$$10y=4000$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=400$$

Skiptu 400 út fyrir y í x+y=500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+400=500$$

Dragðu 400 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=100$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=100,y=400$$