Leysa {l}{25x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$25x+110y=6100$$

Dragðu 110y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25x=-110y+6100$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{25} sinnum -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

Settu -\frac{22y}{5}+244 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=50.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

Leggðu -\frac{22y}{5} saman við y.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

Dragðu 244 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{970}{17}$$

Skiptu \frac{970}{17} út fyrir y í x=-\frac{22}{5}y+244. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

Margfaldaðu -\frac{22}{5} sinnum \frac{970}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

Leggðu 244 saman við -\frac{4268}{17}.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

Til að gera 25x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 25.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

Einfaldaðu.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

Dragðu 25x+25y=1250 frá 25x+110y=6100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

Leggðu 25x saman við -25x. Liðirnir 25x og -25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$110y-25y=6100-1250$$

Leggðu 110y saman við -25y.

$$85y=6100-1250$$

Leggðu 6100 saman við -1250.

$$85y=4850$$

Deildu báðum hliðum með 85.

$$y=\frac{970}{17}$$

Skiptu \frac{970}{17} út fyrir y í x+y=50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

Dragðu \frac{970}{17} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{120}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$