Leysa {l}{23=8k+b}{12=3k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 23 = 8 k + b } \\ { 12 = 3 k + b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir k, b

$$k = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$b = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$8k+b=23$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=12$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8k+b=23,3k+b=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu k með því að einangra k vinstra megin við samasemmerkið.

$$8k+b=23$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8k=-b+23$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$k=\frac{1}{8}\left(-b+23\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -b+23.

$$k=-\frac{1}{8}b+\frac{23}{8}$$

Settu \frac{-b+23}{8} inn fyrir k í hinni jöfnunni, 3k+b=12.

$$3\left(-\frac{1}{8}b+\frac{23}{8}\right)+b=12$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-b+23}{8}.

$$-\frac{3}{8}b+\frac{69}{8}+b=12$$

Leggðu -\frac{3b}{8} saman við b.

$$\frac{5}{8}b+\frac{69}{8}=12$$

Dragðu \frac{69}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{8}b=\frac{27}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{8}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{27}{5}$$

Skiptu \frac{27}{5} út fyrir b í k=-\frac{1}{8}b+\frac{23}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst k strax.

$$k=-\frac{1}{8}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum \frac{27}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$k=-\frac{27}{40}+\frac{23}{8}$$

Leggðu \frac{23}{8} saman við -\frac{27}{40} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k=\frac{11}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=\frac{11}{5},b=\frac{27}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$8k+b=23$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=12$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8k+b=23,3k+b=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-3}&-\frac{1}{8-3}\\-\frac{3}{8-3}&\frac{8}{8-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 23-\frac{1}{5}\times 12\\-\frac{3}{5}\times 23+\frac{8}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna k og b.

$$k=\frac{11}{5},b=\frac{27}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$8k+b=23$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$3k+b=12$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8k+b=23,3k+b=12$$

Dragðu 3k+b=12 frá 8k+b=23 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8k-3k+b-b=23-12$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8k-3k=23-12$$

Leggðu 8k saman við -3k.

$$5k=23-12$$

Leggðu 23 saman við -12.

$$5k=11$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$k=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir k í 3k+b=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$3\times \frac{11}{5}+b=12$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{11}{5}.

$$\frac{33}{5}+b=12$$

Dragðu \frac{33}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$b=\frac{27}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$k=\frac{11}{5},b=\frac{27}{5}$$