Leysa {l}{21x+7y=42}{-5x+5y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 21 x + 7 y = 42 } \\ { - 5 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$21x+7y=42$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$21x=-7y+42$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$x=\frac{1}{21}\left(-7y+42\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{21} sinnum -7y+42.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Settu -\frac{y}{3}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+5y=10.

$$-5\left(-\frac{1}{3}y+2\right)+5y=10$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{y}{3}+2.

$$\frac{5}{3}y-10+5y=10$$

Leggðu \frac{5y}{3} saman við 5y.

$$\frac{20}{3}y-10=10$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{20}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 3.

$$x=-1+2$$

Leggðu 2 saman við -1.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&7\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&-\frac{7}{21\times 5-7\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{21\times 5-7\left(-5\right)}&\frac{21}{21\times 5-7\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}&-\frac{1}{20}\\\frac{1}{28}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{28}\times 42-\frac{1}{20}\times 10\\\frac{1}{28}\times 42+\frac{3}{20}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$21x+7y=42,-5x+5y=10$$

Til að gera 21x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 21.

$$-5\times 21x-5\times 7y=-5\times 42,21\left(-5\right)x+21\times 5y=21\times 10$$

Einfaldaðu.

$$-105x-35y=-210,-105x+105y=210$$

Dragðu -105x+105y=210 frá -105x-35y=-210 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-105x+105x-35y-105y=-210-210$$

Leggðu -105x saman við 105x. Liðirnir -105x og 105x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-35y-105y=-210-210$$

Leggðu -35y saman við -105y.

$$-140y=-210-210$$

Leggðu -210 saman við -210.

$$-140y=-420$$

Deildu báðum hliðum með -140.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í -5x+5y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+5\times 3=10$$

Margfaldaðu 5 sinnum 3.

$$-5x+15=10$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=3$$