Leysa {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$200x+300y=360$$

Dragðu 300y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$200x=-300y+360$$

Deildu báðum hliðum með 200.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{200} sinnum -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

Settu -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

Margfaldaðu 300 sinnum -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

Leggðu -450y saman við 200y.

$$-250y+540=340$$

Dragðu 540 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-250y=-200$$

Deildu báðum hliðum með -250.

$$y=\frac{4}{5}$$

Skiptu \frac{4}{5} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{4}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við -\frac{6}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

Til að gera 200x og 300x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 300 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 200.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

Einfaldaðu.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

Dragðu 60000x+40000y=68000 frá 60000x+90000y=108000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

Leggðu 60000x saman við -60000x. Liðirnir 60000x og -60000x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

Leggðu 90000y saman við -40000y.

$$50000y=108000-68000$$

Leggðu 108000 saman við -68000.

$$50000y=40000$$

Deildu báðum hliðum með 50000.

$$y=\frac{4}{5}$$

Skiptu \frac{4}{5} út fyrir y í 300x+200y=340. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

Margfaldaðu 200 sinnum \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

Dragðu 160 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$300x=180$$

Deildu báðum hliðum með 300.

$$x=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$