Leysa {l}{20x+2y=59}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 x + 2 y = 59 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{121}{56} = 2\frac{9}{56} \approx 2.160714286$$

$$y = \frac{221}{28} = 7\frac{25}{28} \approx 7.892857143$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$20x+2y=59,2x+3y=28$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$20x+2y=59$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20x=-2y+59$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x=\frac{1}{20}\left(-2y+59\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{20} sinnum -2y+59.

$$x=-\frac{1}{10}y+\frac{59}{20}$$

Settu -\frac{y}{10}+\frac{59}{20} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=28.

$$2\left(-\frac{1}{10}y+\frac{59}{20}\right)+3y=28$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{y}{10}+\frac{59}{20}.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{59}{10}+3y=28$$

Leggðu -\frac{y}{5} saman við 3y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{59}{10}=28$$

Dragðu \frac{59}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{14}{5}y=\frac{221}{10}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{14}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{221}{28}$$

Skiptu \frac{221}{28} út fyrir y í x=-\frac{1}{10}y+\frac{59}{20}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{221}{28}+\frac{59}{20}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{10} sinnum \frac{221}{28} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{221}{280}+\frac{59}{20}$$

Leggðu \frac{59}{20} saman við -\frac{221}{280} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{121}{56}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{121}{56},y=\frac{221}{28}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$20x+2y=59,2x+3y=28$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{20\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{20\times 3-2\times 2}&\frac{20}{20\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{56}&-\frac{1}{28}\\-\frac{1}{28}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\28\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{56}\times 59-\frac{1}{28}\times 28\\-\frac{1}{28}\times 59+\frac{5}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{121}{56}\\\frac{221}{28}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{121}{56},y=\frac{221}{28}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$20x+2y=59,2x+3y=28$$

Til að gera 20x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 20.

$$2\times 20x+2\times 2y=2\times 59,20\times 2x+20\times 3y=20\times 28$$

Einfaldaðu.

$$40x+4y=118,40x+60y=560$$

Dragðu 40x+60y=560 frá 40x+4y=118 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x+4y-60y=118-560$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-60y=118-560$$

Leggðu 4y saman við -60y.

$$-56y=118-560$$

Leggðu 118 saman við -560.

$$-56y=-442$$

Deildu báðum hliðum með -56.

$$y=\frac{221}{28}$$

Skiptu \frac{221}{28} út fyrir y í 2x+3y=28. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times \frac{221}{28}=28$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{221}{28}.

$$2x+\frac{663}{28}=28$$

Dragðu \frac{663}{28} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{121}{28}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{121}{56}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{121}{56},y=\frac{221}{28}$$