Leysa {l}{20+x+y=115}{11x=8y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=40$$

$$y=55$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 20 frá báðum hliðum.

$$x+y=115-20$$

Dragðu 20 frá 115 til að fá út 95.

$$x+y=95$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8y frá báðum hliðum.

$$11x-8y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=95$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+95$$

Settu -y+95 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 11x-8y=0.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

Margfaldaðu 11 sinnum -y+95.

$$-11y+1045-8y=0$$

Leggðu -11y saman við -8y.

$$-19y+1045=0$$

Dragðu 1045 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-19y=-1045$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=55$$

Skiptu 55 út fyrir y í x=-y+95. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-55+95$$

Leggðu 95 saman við -55.

$$x=40$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=40,y=55$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 20 frá báðum hliðum.

$$x+y=115-20$$

Dragðu 20 frá 115 til að fá út 95.

$$x+y=95$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8y frá báðum hliðum.

$$11x-8y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=40,y=55$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 20 frá báðum hliðum.

$$x+y=115-20$$

Dragðu 20 frá 115 til að fá út 95.

$$x+y=95$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 8y frá báðum hliðum.

$$11x-8y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

Til að gera x og 11x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 11 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

Einfaldaðu.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

Dragðu 11x-8y=0 frá 11x+11y=1045 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

Leggðu 11x saman við -11x. Liðirnir 11x og -11x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$11y+8y=1045$$

Leggðu 11y saman við 8y.

$$19y=1045$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=55$$

Skiptu 55 út fyrir y í 11x-8y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$11x-8\times 55=0$$

Margfaldaðu -8 sinnum 55.

$$11x-440=0$$

Leggðu 440 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$11x=440$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=40$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=40,y=55$$