Leysa {l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y-3x=-6$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=3x-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Settu \frac{3x}{2}-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, 4y+5x=8.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3x}{2}-3.

$$6x-12+5x=8$$

Leggðu 6x saman við 5x.

$$11x-12=8$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$11x=20$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$x=\frac{20}{11}$$

Skiptu \frac{20}{11} út fyrir x í y=\frac{3}{2}x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{20}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

Leggðu -3 saman við \frac{30}{11}.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$2y-3x=-6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

Til að gera 2y og 4y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

Einfaldaðu.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

Dragðu 8y+10x=16 frá 8y-12x=-24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

Leggðu 8y saman við -8y. Liðirnir 8y og -8y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12x-10x=-24-16$$

Leggðu -12x saman við -10x.

$$-22x=-24-16$$

Leggðu -24 saman við -16.

$$-22x=-40$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$x=\frac{20}{11}$$

Skiptu \frac{20}{11} út fyrir x í 4y+5x=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{20}{11}.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

Dragðu \frac{100}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-\frac{3}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$