Leysa {l}{2y+3z-5=0}{-2y-z+7=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y + 3 z - 5 = 0 } \\ { - 2 y - z + 7 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, z

$$y=4$$

$$z=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2y+3z-5=0,-2y-z+7=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$2y+3z-5=0$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y+3z=5$$

Dragðu 3z frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-3z+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-3z+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3z+5.

$$y=-\frac{3}{2}z+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-3z+5}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, -2y-z+7=0.

$$-2\left(-\frac{3}{2}z+\frac{5}{2}\right)-z+7=0$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-3z+5}{2}.

$$3z-5-z+7=0$$

Leggðu 3z saman við -z.

$$2z-5+7=0$$

Leggðu -5 saman við 7.

$$2z+2=0$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2z=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$z=-1$$

Skiptu -1 út fyrir z í y=-\frac{3}{2}z+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -1.

$$y=\frac{3+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,z=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2y+3z-5=0,-2y-z+7=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-1\right)-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og z.

$$y=4,z=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2y+3z-5=0,-2y-z+7=0$$

Til að gera 2y og -2y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2y-2\times 3z-2\left(-5\right)=0,2\left(-2\right)y+2\left(-1\right)z+2\times 7=0$$

Einfaldaðu.

$$-4y-6z+10=0,-4y-2z+14=0$$

Dragðu -4y-2z+14=0 frá -4y-6z+10=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4y+4y-6z+2z+10-14=0$$

Leggðu -4y saman við 4y. Liðirnir -4y og 4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6z+2z+10-14=0$$

Leggðu -6z saman við 2z.

$$-4z+10-14=0$$

Leggðu 10 saman við -14.

$$-4z-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4z=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$z=-1$$

Skiptu -1 út fyrir z í -2y-z+7=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-2y-\left(-1\right)+7=0$$

Leggðu 1 saman við 7.

$$-2y+8=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=4,z=-1$$