Leysa {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-x+3y=30$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=5$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+5.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{5+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+3y=30.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{5+y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=13$$

Skiptu 13 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 13.

$$x=\frac{13+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{13}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=13$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-x+3y=30$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=13$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-x+3y=30$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

Einfaldaðu.

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

Dragðu -2x+6y=60 frá -2x+y=-5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-6y=-5-60$$

Leggðu y saman við -6y.

$$-5y=-5-60$$

Leggðu -5 saman við -60.

$$-5y=-65$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=13$$

Skiptu 13 út fyrir y í -x+3y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+3\times 13=30$$

Margfaldaðu 3 sinnum 13.

$$-x+39=30$$

Dragðu 39 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-9$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=13$$