Leysa {l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$2x-y-4x=-3$$

Sameinaðu 2x og -4x til að fá -2x.

$$-2x-y=-3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x-y=-3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=y-3$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{-y+3}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=\frac{1}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=-1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -2.

$$x=1+\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við 1.

$$x=\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$2x-y-4x=-3$$

Sameinaðu 2x og -4x til að fá -2x.

$$-2x-y=-3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$2x-y-4x=-3$$

Sameinaðu 2x og -4x til að fá -2x.

$$-2x-y=-3$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 2.

$$x+y=\frac{1}{2}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

Til að gera -2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

Einfaldaðu.

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

Dragðu -2x-2y=-1 frá -2x-y=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y+2y=-3+1$$

Leggðu -y saman við 2y.

$$y=-3+1$$

Leggðu -3 saman við 1.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x+y=\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2=\frac{1}{2}$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$