Leysa {l}{2x-y=3}{x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{3+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=-1.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-1$$

Leggðu \frac{y}{2} saman við -y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=-1$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 5.

$$x=\frac{5+3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við \frac{5}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-\left(-1\right)\\3-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=3,x-y=-1$$

Dragðu x-y=-1 frá 2x-y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-x-y+y=3+1$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-x=3+1$$

Leggðu 2x saman við -x.

$$x=3+1$$

Leggðu 3 saman við 1.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í x-y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4-y=-1$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$