Leysa {l}{2x-y=3}{3x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { 3 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11} \approx 1.272727273$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+3.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Settu \frac{3+y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+4y=2.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+4y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3+y}{2}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+4y=2$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við 4y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{9}{2}=2$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Skiptu -\frac{5}{11} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -\frac{5}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{5}{22}+\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við -\frac{5}{22} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{14}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 4-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 3+\frac{1}{11}\times 2\\-\frac{3}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=3,3x+4y=2$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3,2\times 3x+2\times 4y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$6x-3y=9,6x+8y=4$$

Dragðu 6x+8y=4 frá 6x-3y=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-3y-8y=9-4$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-8y=9-4$$

Leggðu -3y saman við -8y.

$$-11y=9-4$$

Leggðu 9 saman við -4.

$$-11y=5$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

Skiptu -\frac{5}{11} út fyrir y í 3x+4y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+4\left(-\frac{5}{11}\right)=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{5}{11}.

$$3x-\frac{20}{11}=2$$

Leggðu \frac{20}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{42}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{14}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14}{11},y=-\frac{5}{11}$$