Leysa {l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x = 2 ( 5 - y ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 5-y.

$$3x=10-2y$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$3x+2y=10$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Settu \frac{y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=10.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=10$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=10$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=1+1$$

Leggðu 1 saman við 1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 5-y.

$$3x=10-2y$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$3x+2y=10$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 5-y.

$$3x=10-2y$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$3x+2y=10$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=2,3x+2y=10$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10$$

Einfaldaðu.

$$6x-3y=6,6x+4y=20$$

Dragðu 6x+4y=20 frá 6x-3y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-3y-4y=6-20$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-4y=6-20$$

Leggðu -3y saman við -4y.

$$-7y=6-20$$

Leggðu 6 saman við -20.

$$-7y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x+2y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times 2=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$3x+4=10$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=2$$