Leysa {l}{2x-y=2}{3x+2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7} \approx 2.142857143$$

$$y = \frac{16}{7} = 2\frac{2}{7} \approx 2.285714286$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

Settu \frac{y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=11.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=11$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3+2y=11$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við 2y.

$$\frac{7}{2}y+3=11$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{2}y=8$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{16}{7}$$

Skiptu \frac{16}{7} út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{16}{7}+1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum \frac{16}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{8}{7}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{8}{7}.

$$x=\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{7}\\\frac{16}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=2,3x+2y=11$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 11$$

Einfaldaðu.

$$6x-3y=6,6x+4y=22$$

Dragðu 6x+4y=22 frá 6x-3y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-3y-4y=6-22$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-4y=6-22$$

Leggðu -3y saman við -4y.

$$-7y=6-22$$

Leggðu 6 saman við -22.

$$-7y=-16$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{16}{7}$$

Skiptu \frac{16}{7} út fyrir y í 3x+2y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{16}{7}=11$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{16}{7}.

$$3x+\frac{32}{7}=11$$

Dragðu \frac{32}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{45}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{15}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{15}{7},y=\frac{16}{7}$$