Leysa {l}{2x-7y=6}{y-2x=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 6 } \\ { y - 2 x = 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-18$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-7y=6$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=7y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 7y+6.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

Settu \frac{7y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=30.

$$-2\left(\frac{7}{2}y+3\right)+y=30$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{7y}{2}+3.

$$-7y-6+y=30$$

Leggðu -7y saman við y.

$$-6y-6=30$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6y=36$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=\frac{7}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{2}\left(-6\right)+3$$

Margfaldaðu \frac{7}{2} sinnum -6.

$$x=-21+3$$

Leggðu 3 saman við -21.

$$x=-18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-18,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6-\frac{7}{12}\times 30\\-\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-18,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-7y=6,-2x+y=30$$

Til að gera 2x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 6,2\left(-2\right)x+2y=2\times 30$$

Einfaldaðu.

$$-4x+14y=-12,-4x+2y=60$$

Dragðu -4x+2y=60 frá -4x+14y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+14y-2y=-12-60$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$14y-2y=-12-60$$

Leggðu 14y saman við -2y.

$$12y=-12-60$$

Leggðu -12 saman við -60.

$$12y=-72$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í -2x+y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-6=30$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=36$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-18$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-18,y=-6$$