Leysa {l}{2x-7y=-5}{5x+3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = - 5 } \\ { 5 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-7y=-5$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=7y-5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(7y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 7y-5.

$$x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}$$

Settu \frac{7y-5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+3y=8.

$$5\left(\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}\right)+3y=8$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{7y-5}{2}.

$$\frac{35}{2}y-\frac{25}{2}+3y=8$$

Leggðu \frac{35y}{2} saman við 3y.

$$\frac{41}{2}y-\frac{25}{2}=8$$

Leggðu \frac{25}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{41}{2}y=\frac{41}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{41}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=\frac{7}{2}y-\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7-5}{2}$$

Leggðu -\frac{5}{2} saman við \frac{7}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{7}{41}\\-\frac{5}{41}&\frac{2}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-5\right)+\frac{7}{41}\times 8\\-\frac{5}{41}\left(-5\right)+\frac{2}{41}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-7y=-5,5x+3y=8$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\left(-7\right)y=5\left(-5\right),2\times 5x+2\times 3y=2\times 8$$

Einfaldaðu.

$$10x-35y=-25,10x+6y=16$$

Dragðu 10x+6y=16 frá 10x-35y=-25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-35y-6y=-25-16$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-35y-6y=-25-16$$

Leggðu -35y saman við -6y.

$$-41y=-25-16$$

Leggðu -25 saman við -16.

$$-41y=-41$$

Deildu báðum hliðum með -41.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 5x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+3=8$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=1$$