Leysa {l}{2x-6y=34}{8x-3y=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 34 } \\ { 8 x - 3 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-6y=34$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=6y+34$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+34\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 6y+34.

$$x=3y+17$$

Settu 3y+17 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-3y=-11.

$$8\left(3y+17\right)-3y=-11$$

Margfaldaðu 8 sinnum 3y+17.

$$24y+136-3y=-11$$

Leggðu 24y saman við -3y.

$$21y+136=-11$$

Dragðu 136 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$21y=-147$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í x=3y+17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\left(-7\right)+17$$

Margfaldaðu 3 sinnum -7.

$$x=-21+17$$

Leggðu 17 saman við -21.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 34+\frac{1}{7}\left(-11\right)\\-\frac{4}{21}\times 34+\frac{1}{21}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=-7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-6y=34,8x-3y=-11$$

Til að gera 2x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$8\times 2x+8\left(-6\right)y=8\times 34,2\times 8x+2\left(-3\right)y=2\left(-11\right)$$

Einfaldaðu.

$$16x-48y=272,16x-6y=-22$$

Dragðu 16x-6y=-22 frá 16x-48y=272 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$16x-16x-48y+6y=272+22$$

Leggðu 16x saman við -16x. Liðirnir 16x og -16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-48y+6y=272+22$$

Leggðu -48y saman við 6y.

$$-42y=272+22$$

Leggðu 272 saman við 22.

$$-42y=294$$

Deildu báðum hliðum með -42.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í 8x-3y=-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x-3\left(-7\right)=-11$$

Margfaldaðu -3 sinnum -7.

$$8x+21=-11$$

Dragðu 21 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-32$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=-7$$