Leysa {l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 8x við báðar hliðar.

$$7y+8x=-17$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=10$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Settu \frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+7y=-17.

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{3y}{2}+5.

$$12y+40+7y=-17$$

Leggðu 12y saman við 7y.

$$19y+40=-17$$

Dragðu 40 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$19y=-57$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -3.

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{9}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 8x við báðar hliðar.

$$7y+8x=-17$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 10 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$2x-3y=10$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 8x við báðar hliðar.

$$7y+8x=-17$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

Til að gera 2x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Einfaldaðu.

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

Dragðu 16x+14y=-34 frá 16x-24y=80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

Leggðu 16x saman við -16x. Liðirnir 16x og -16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-24y-14y=80+34$$

Leggðu -24y saman við -14y.

$$-38y=80+34$$

Leggðu 80 saman við 34.

$$-38y=114$$

Deildu báðum hliðum með -38.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 8x+7y=-17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

Margfaldaðu 7 sinnum -3.

$$8x-21=-17$$

Leggðu 21 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=4$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$