Leysa {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=15$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+15$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Settu \frac{15+3y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Leggðu \frac{3y}{2} saman við y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Skiptu -\frac{13}{5} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{13}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við -\frac{39}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{18}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Dragðu 2x+2y=2 frá 2x-3y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-2y=15-2$$

Leggðu -3y saman við -2y.

$$-5y=15-2$$

Leggðu 15 saman við -2.

$$-5y=13$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

Skiptu -\frac{13}{5} út fyrir y í x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Leggðu \frac{13}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{18}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$