Leysa {l}{2x-3y=1}{3x+5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=1$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3y+1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+5y=1.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y+1}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við 5y.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Dragðu \frac{3}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Skiptu -\frac{1}{19} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{3}{38} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{8}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

Einfaldaðu.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

Dragðu 6x+10y=2 frá 6x-9y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y-10y=3-2$$

Leggðu -9y saman við -10y.

$$-19y=3-2$$

Leggðu 3 saman við -2.

$$-19y=1$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-\frac{1}{19}$$

Skiptu -\frac{1}{19} út fyrir y í 3x+5y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{1}{19}.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

Leggðu \frac{5}{19} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{24}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{8}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$