Leysa {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=-5$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y-5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Settu \frac{3y-5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+9y=-7.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+9y=-7$$

Leggðu 6y saman við 9y.

$$15y-10=-7$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$15y=3$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir y í x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{1}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

Leggðu -\frac{5}{2} saman við \frac{3}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

Einfaldaðu.

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

Dragðu 8x+18y=-14 frá 8x-12y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-18y=-20+14$$

Leggðu -12y saman við -18y.

$$-30y=-20+14$$

Leggðu -20 saman við 14.

$$-30y=-6$$

Deildu báðum hliðum með -30.

$$y=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir y í 4x+9y=-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{1}{5}.

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

Dragðu \frac{9}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-\frac{44}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$