Leysa {l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x-15-3y=6$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$2x-3y=6+15$$

Leggðu saman 6 og 15 til að fá 21.

$$2x-3y=21$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7 með x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Bættu 5y við báðar hliðar.

$$7x-28+5y=-1$$

Bættu 28 við báðar hliðar.

$$7x+5y=-1+28$$

Leggðu saman -1 og 28 til að fá 27.

$$7x+5y=27$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-3y=21$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=3y+21$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 21+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Settu \frac{21+3y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+5y=27.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{21+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

Leggðu \frac{21y}{2} saman við 5y.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

Dragðu \frac{147}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{31}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum -3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Leggðu \frac{21}{2} saman við -\frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x-15-3y=6$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$2x-3y=6+15$$

Leggðu saman 6 og 15 til að fá 21.

$$2x-3y=21$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7 með x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Bættu 5y við báðar hliðar.

$$7x-28+5y=-1$$

Bættu 28 við báðar hliðar.

$$7x+5y=-1+28$$

Leggðu saman -1 og 28 til að fá 27.

$$7x+5y=27$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með y+2.

$$2x-15=3y+6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$2x-15-3y=6$$

Bættu 15 við báðar hliðar.

$$2x-3y=6+15$$

Leggðu saman 6 og 15 til að fá 21.

$$2x-3y=21$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 7 með x-4.

$$7x-28=-1-5y$$

Bættu 5y við báðar hliðar.

$$7x-28+5y=-1$$

Bættu 28 við báðar hliðar.

$$7x+5y=-1+28$$

Leggðu saman -1 og 28 til að fá 27.

$$7x+5y=27$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

Til að gera 2x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

Einfaldaðu.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

Dragðu 14x+10y=54 frá 14x-21y=147 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-21y-10y=147-54$$

Leggðu -21y saman við -10y.

$$-31y=147-54$$

Leggðu 147 saman við -54.

$$-31y=93$$

Deildu báðum hliðum með -31.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 7x+5y=27. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

Margfaldaðu 5 sinnum -3.

$$7x-15=27$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=42$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-3$$