Leysa {l}{2x+y=60}{x=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 60 } \\ { x = y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=20$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=60$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+60$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+60\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+30$$

Settu -\frac{y}{2}+30 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=0.

$$-\frac{1}{2}y+30-y=0$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við -y.

$$-\frac{3}{2}y+30=0$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{2}y=-30$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 20+30$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 20.

$$x=-10+30$$

Leggðu 30 saman við -10.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=20$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60\\\frac{1}{3}\times 60\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=20$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=60,x-y=0$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=60,2x+2\left(-1\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$2x+y=60,2x-2y=0$$

Dragðu 2x-2y=0 frá 2x+y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+y+2y=60$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+2y=60$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y=60$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=20$$

Skiptu 20 út fyrir y í x-y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-20=0$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=20$$