Leysa {l}{2x+y=26}{x+3y=280}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 26 } \\ { x + 3 y = 280 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{202}{5} = -40\frac{2}{5} = -40.4$$

$$y = \frac{534}{5} = 106\frac{4}{5} = 106.8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=26,x+3y=280$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=26$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+26$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+26\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+26.

$$x=-\frac{1}{2}y+13$$

Settu -\frac{y}{2}+13 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=280.

$$-\frac{1}{2}y+13+3y=280$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við 3y.

$$\frac{5}{2}y+13=280$$

Dragðu 13 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=267$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{534}{5}$$

Skiptu \frac{534}{5} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{534}{5}+13$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{534}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{267}{5}+13$$

Leggðu 13 saman við -\frac{267}{5}.

$$x=-\frac{202}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{202}{5},y=\frac{534}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=26,x+3y=280$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\280\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 26-\frac{1}{5}\times 280\\-\frac{1}{5}\times 26+\frac{2}{5}\times 280\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{202}{5}\\\frac{534}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{202}{5},y=\frac{534}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=26,x+3y=280$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=26,2x+2\times 3y=2\times 280$$

Einfaldaðu.

$$2x+y=26,2x+6y=560$$

Dragðu 2x+6y=560 frá 2x+y=26 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+y-6y=26-560$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-6y=26-560$$

Leggðu y saman við -6y.

$$-5y=26-560$$

Leggðu 26 saman við -560.

$$-5y=-534$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{534}{5}$$

Skiptu \frac{534}{5} út fyrir y í x+3y=280. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times \frac{534}{5}=280$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{534}{5}.

$$x+\frac{1602}{5}=280$$

Dragðu \frac{1602}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{202}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{202}{5},y=\frac{534}{5}$$