Leysa {l}{2x+y=0}{3x+8y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 0 } \\ { 3 x + 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{7}{13}\approx -0.538461538$$

$$y = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=0$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Settu -\frac{y}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+8y=7.

$$3\left(-\frac{1}{2}\right)y+8y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+8y=7$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við 8y.

$$\frac{13}{2}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{14}{13}$$

Skiptu \frac{14}{13} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{14}{13}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{14}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{7}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3}&-\frac{1}{2\times 8-3}\\-\frac{3}{2\times 8-3}&\frac{2}{2\times 8-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 7\\\frac{2}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{13}\\\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=0,3x+8y=7$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3y=0,2\times 3x+2\times 8y=2\times 7$$

Einfaldaðu.

$$6x+3y=0,6x+16y=14$$

Dragðu 6x+16y=14 frá 6x+3y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+3y-16y=-14$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-16y=-14$$

Leggðu 3y saman við -16y.

$$-13y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=\frac{14}{13}$$

Skiptu \frac{14}{13} út fyrir y í 3x+8y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+8\times \frac{14}{13}=7$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{14}{13}.

$$3x+\frac{112}{13}=7$$

Dragðu \frac{112}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{21}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{7}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{7}{13},y=\frac{14}{13}$$