Leysa {l}{2x+y=-1}{3x+y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y-1.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-y-1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=0$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-y-1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}+y=0$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við y.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=0$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -3.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Leggðu -\frac{1}{2} saman við \frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

Dragðu 3x+y=0 frá 2x+y=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-3x+y-y=-1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-3x=-1$$

Leggðu 2x saman við -3x.

$$-x=-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=1$$

Skiptu 1 út fyrir x í 3x+y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3+y=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-3$$