Leysa {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+9y=19$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-9y+19$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

Settu \frac{-9y+19}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

Leggðu -18y saman við my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

Dragðu 38 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m-18\right)y=15$$

Deildu báðum hliðum með -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

Skiptu \frac{15}{-18+m} út fyrir y í x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{9}{2} sinnum \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

Leggðu \frac{19}{2} saman við -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

Einfaldaðu.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

Dragðu 8x+2my=106 frá 8x+36y=76 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

Leggðu 36y saman við -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

Leggðu 76 saman við -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

Deildu báðum hliðum með 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

Skiptu -\frac{15}{18-m} út fyrir y í 4x+my=53. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

Margfaldaðu m sinnum -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

Leggðu \frac{15m}{18-m} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$