Leysa {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+8y=16$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-8y+16$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -8y+16.

$$x=-4y+8$$

Settu -4y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+2y+11=0.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4y+8.

$$4y-8+2y+11=0$$

Leggðu 4y saman við 2y.

$$6y-8+11=0$$

Leggðu -8 saman við 11.

$$6y+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=-3$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-4y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{1}{2}.

$$x=2+8$$

Leggðu 8 saman við 2.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

Einfaldaðu.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

Dragðu -2x+4y+22=0 frá -2x-8y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-4y-22=-16$$

Leggðu -8y saman við -4y.

$$-12y-22=-16$$

Leggðu 22 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-12y=6$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í -x+2y+11=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{1}{2}.

$$-x-1+11=0$$

Leggðu -1 saman við 11.

$$-x+10=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$