Leysa {l}{2x+7y=15}{3x-5y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+7y=15$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-7y+15$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -7y+15.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

Settu \frac{-7y+15}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-5y=23.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-7y+15}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

Leggðu -\frac{21y}{2} saman við -5y.

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

Dragðu \frac{45}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{31}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Skiptu -\frac{1}{31} út fyrir y í x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{2} sinnum -\frac{1}{31} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við \frac{7}{62} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{236}{31}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

Einfaldaðu.

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

Dragðu 6x-10y=46 frá 6x+21y=45 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y+10y=45-46$$

Leggðu 21y saman við 10y.

$$31y=45-46$$

Leggðu 45 saman við -46.

$$31y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 31.

$$y=-\frac{1}{31}$$

Skiptu -\frac{1}{31} út fyrir y í 3x-5y=23. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{1}{31}.

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

Dragðu \frac{5}{31} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{708}{31}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{236}{31}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$