Leysa {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=13$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+13$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+13.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

Settu \frac{-5y+13}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+7y=-17.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við 7y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

Dragðu \frac{13}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Skiptu -\frac{47}{9} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum -\frac{47}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

Leggðu \frac{13}{2} saman við \frac{235}{18} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{176}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

Einfaldaðu.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

Dragðu 2x+14y=-34 frá 2x+5y=13 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-14y=13+34$$

Leggðu 5y saman við -14y.

$$-9y=13+34$$

Leggðu 13 saman við 34.

$$-9y=47$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-\frac{47}{9}$$

Skiptu -\frac{47}{9} út fyrir y í x+7y=-17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{47}{9}.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

Leggðu \frac{329}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{176}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$