Leysa {l}{2x+5y=-11}{4x-7y=63}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 11 } \\ { 4 x - 7 y = 63 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=-11,4x-7y=63$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=-11$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y-11$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-11\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y-11.

$$x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}$$

Settu \frac{-5y-11}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-7y=63.

$$4\left(-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}\right)-7y=63$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-5y-11}{2}.

$$-10y-22-7y=63$$

Leggðu -10y saman við -7y.

$$-17y-22=63$$

Leggðu 22 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-17y=85$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-5\right)-\frac{11}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum -5.

$$x=\frac{25-11}{2}$$

Leggðu -\frac{11}{2} saman við \frac{25}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=-11,4x-7y=63$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-5\times 4}&-\frac{5}{2\left(-7\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-7\right)-5\times 4}&\frac{2}{2\left(-7\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}&\frac{5}{34}\\\frac{2}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\63\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{34}\left(-11\right)+\frac{5}{34}\times 63\\\frac{2}{17}\left(-11\right)-\frac{1}{17}\times 63\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=-11,4x-7y=63$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\left(-11\right),2\times 4x+2\left(-7\right)y=2\times 63$$

Einfaldaðu.

$$8x+20y=-44,8x-14y=126$$

Dragðu 8x-14y=126 frá 8x+20y=-44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+20y+14y=-44-126$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y+14y=-44-126$$

Leggðu 20y saman við 14y.

$$34y=-44-126$$

Leggðu -44 saman við -126.

$$34y=-170$$

Deildu báðum hliðum með 34.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 4x-7y=63. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-7\left(-5\right)=63$$

Margfaldaðu -7 sinnum -5.

$$4x+35=63$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=28$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=-5$$