Leysa {l}{2x+5y=1/2}{3x=3y+1/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 3 x = 3 y + \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{19}{126}\approx 0.150793651$$

$$y=\frac{5}{126}\approx 0.03968254$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=\frac{1}{2}$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+\frac{1}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+\frac{1}{2}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}$$

Settu -\frac{5y}{2}+\frac{1}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-3y=\frac{1}{3}.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}\right)-3y=\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{5y}{2}+\frac{1}{4}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{3}{4}-3y=\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við -3y.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{3}{4}=\frac{1}{3}$$

Dragðu \frac{3}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{21}{2}y=-\frac{5}{12}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{21}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{5}{126}$$

Skiptu \frac{5}{126} út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{5}{126}+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum \frac{5}{126} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{25}{252}+\frac{1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við -\frac{25}{252} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{19}{126}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{5}{21}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times \frac{1}{2}+\frac{5}{21}\times \frac{1}{3}\\\frac{1}{7}\times \frac{1}{2}-\frac{2}{21}\times \frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{126}\\\frac{5}{126}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$3x-3y=\frac{1}{3}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=\frac{1}{2},3x-3y=\frac{1}{3}$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times \frac{1}{2},2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\times \frac{1}{3}$$

Einfaldaðu.

$$6x+15y=\frac{3}{2},6x-6y=\frac{2}{3}$$

Dragðu 6x-6y=\frac{2}{3} frá 6x+15y=\frac{3}{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+15y+6y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y+6y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

Leggðu 15y saman við 6y.

$$21y=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{3}{2} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$21y=\frac{5}{6}$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=\frac{5}{126}$$

Skiptu \frac{5}{126} út fyrir y í 3x-3y=\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-3\times \frac{5}{126}=\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{5}{126}.

$$3x-\frac{5}{42}=\frac{1}{3}$$

Leggðu \frac{5}{42} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{19}{42}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{19}{126}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{126},y=\frac{5}{126}$$