Leysa {l}{2x+4y=12}{5x-8y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+4y=12$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-4y+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4y+12.

$$x=-2y+6$$

Settu -2y+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-8y=16.

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2y+6.

$$-10y+30-8y=16$$

Leggðu -10y saman við -8y.

$$-18y+30=16$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-18y=-14$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=\frac{7}{9}$$

Skiptu \frac{7}{9} út fyrir y í x=-2y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{7}{9}.

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

Leggðu 6 saman við -\frac{14}{9}.

$$x=\frac{40}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

Einfaldaðu.

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

Dragðu 10x-16y=32 frá 10x+20y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y+16y=60-32$$

Leggðu 20y saman við 16y.

$$36y=60-32$$

Leggðu 60 saman við -32.

$$36y=28$$

Deildu báðum hliðum með 36.

$$y=\frac{7}{9}$$

Skiptu \frac{7}{9} út fyrir y í 5x-8y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{7}{9}.

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

Leggðu \frac{56}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=\frac{200}{9}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{40}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$