Leysa {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=120$$

$$y=180$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=780$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+780$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+780.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

Settu -\frac{3y}{2}+390 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+4y=1320.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{3y}{2}+390.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við 4y.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

Dragðu 1950 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=180$$

Skiptu 180 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+390. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 180.

$$x=-270+390$$

Leggðu 390 saman við -270.

$$x=120$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=120,y=180$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=120,y=180$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

Einfaldaðu.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

Dragðu 10x+8y=2640 frá 10x+15y=3900 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-8y=3900-2640$$

Leggðu 15y saman við -8y.

$$7y=3900-2640$$

Leggðu 3900 saman við -2640.

$$7y=1260$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=180$$

Skiptu 180 út fyrir y í 5x+4y=1320. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+4\times 180=1320$$

Margfaldaðu 4 sinnum 180.

$$5x+720=1320$$

Dragðu 720 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=600$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=120$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=120,y=180$$