Leysa {l}{2x+3y=62}{5x+y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 62 } \\ { 5 x + y = 90 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=16$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=62,5x+y=90$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=62$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+62$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+62\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+62.

$$x=-\frac{3}{2}y+31$$

Settu -\frac{3y}{2}+31 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+y=90.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+31\right)+y=90$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{3y}{2}+31.

$$-\frac{15}{2}y+155+y=90$$

Leggðu -\frac{15y}{2} saman við y.

$$-\frac{13}{2}y+155=90$$

Dragðu 155 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{13}{2}y=-65$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+31. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 10+31$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 10.

$$x=-15+31$$

Leggðu 31 saman við -15.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=62,5x+y=90$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 5}&-\frac{3}{2-3\times 5}\\-\frac{5}{2-3\times 5}&\frac{2}{2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\90\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 62+\frac{3}{13}\times 90\\\frac{5}{13}\times 62-\frac{2}{13}\times 90\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=16,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=62,5x+y=90$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 62,2\times 5x+2y=2\times 90$$

Einfaldaðu.

$$10x+15y=310,10x+2y=180$$

Dragðu 10x+2y=180 frá 10x+15y=310 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+15y-2y=310-180$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$15y-2y=310-180$$

Leggðu 15y saman við -2y.

$$13y=310-180$$

Leggðu 310 saman við -180.

$$13y=130$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í 5x+y=90. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+10=90$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=80$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=10$$