Leysa {l}{2x+3y=6}{3x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Settu -\frac{3y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=-2.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-y=-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{2}+3.

$$-\frac{9}{2}y+9-y=-2$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við -y.

$$-\frac{11}{2}y+9=-2$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{2}y=-11$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 2.

$$x=-3+3$$

Leggðu 3 saman við -3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{11}\left(-2\right)\\\frac{3}{11}\times 6-\frac{2}{11}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=6,3x-y=-2$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 6,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$6x+9y=18,6x-2y=-4$$

Dragðu 6x-2y=-4 frá 6x+9y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+9y+2y=18+4$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y+2y=18+4$$

Leggðu 9y saman við 2y.

$$11y=18+4$$

Leggðu 18 saman við 4.

$$11y=22$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x-y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2=-2$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=0$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$