Leysa {l}{2x+3y=6}{-4x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=6$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Settu -\frac{3y}{2}+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+3y=12.

$$-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{3y}{2}+3.

$$6y-12+3y=12$$

Leggðu 6y saman við 3y.

$$9y-12=12$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9y=24$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=\frac{8}{3}$$

Skiptu \frac{8}{3} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{8}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-4+3$$

Leggðu 3 saman við -4.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=6,-4x+3y=12$$

Dragðu -4x+3y=12 frá 2x+3y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x+4x+3y-3y=6-12$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x+4x=6-12$$

Leggðu 2x saman við 4x.

$$6x=6-12$$

Leggðu 6 saman við -12.

$$6x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í -4x+3y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-4\left(-1\right)+3y=12$$

Margfaldaðu -4 sinnum -1.

$$4+3y=12$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=8$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{8}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=\frac{8}{3}$$