Leysa {l}{2x+3y=4}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

Settu -\frac{3y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+2y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+2y=7$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við 2y.

$$-\frac{5}{2}y+6=7$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Skiptu -\frac{2}{5} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{2}{5}\right)+2$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{2}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{3}{5}+2$$

Leggðu 2 saman við \frac{3}{5}.

$$x=\frac{13}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{3}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=4,3x+2y=7$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 7$$

Einfaldaðu.

$$6x+9y=12,6x+4y=14$$

Dragðu 6x+4y=14 frá 6x+9y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+9y-4y=12-14$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-4y=12-14$$

Leggðu 9y saman við -4y.

$$5y=12-14$$

Leggðu 12 saman við -14.

$$5y=-2$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-\frac{2}{5}$$

Skiptu -\frac{2}{5} út fyrir y í 3x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-\frac{2}{5}\right)=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{2}{5}.

$$3x-\frac{4}{5}=7$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{39}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{13}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{5},y=-\frac{2}{5}$$